Was eine Poisson Verteilung ist, und wie diese für Sportwetten Prognosen (Sportwetten Modelle) verwendet werden kann, wird im Beitrag Poisson Verteilung für Saisonwetten erklärt. Dort findet man auch ein praktisches Anwendungsbeispiel zur Vorhersage von Saisonergebnissen mittels Poisson Verteilung.
In diesem Beitrag sollen Wettquoten für ein Fussballspiel auf Basis der Poisson Verteilung berechnet werden. Dazu nehmen wir als Beispiel das Spiel:
Im Beitrag Ergebnisbasiertes Modell für Sportwetten berechneten wir die Quoten für das gleiche Spiel mit einem ergebnisbasierten Vorhersage-Modell (Heimsiege, Unentschieden, Auswärtssiege). Nun soll gezeigt werden, welche Möglichkeiten ein torbasiertes Vorhersagemodell - die Poisson Verteilung - bietet, um 3-Weg-Quoten, Resultatquoten und Handicapquoten für Fussballwetten zu berechnen.
Egal welches Modell man verwendet; prinzipiell geht es immer darum die Heim- bzw. Auswärtsstärke einer Mannschaft in ein Verhältnis mit der gegnerischen Mannschaft zu setzen. Dass z.B. Real Madrid grundsätzlich stärker ist als der VFL Wolfsburg, kann man auch ohne mathematisches Modell feststellen. Um aber festzustellen wieviel stärker Real Madrid ist, benötigt man schon etwas mehr als nur das Bauchgefühl.
Im Folgenden wird eine torbasierte Poisson Verteilung in vier Varianten angewendet. Die Varianten unterscheiden sich nur dadurch, wie man zur Anzahl der erwarteten Tore gelangt. Deswegen wird die erste Variante detailliert durchgerechnet; für die Varianten 2 - 4 werden nur die Endergebnisse präsentiert, da der Rechenweg sehr ähnlich zur Variante 1 ist.
Variante 1: Angriffsstärke vs. DefensivstärkeVerwendete Daten
Es geht um die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten / Wettquoten für das Bundesliga Spiel Borussia Dortmund - Schalke 04, vom 8. Spieltag der Bundesliga Saison 2012/2013. Für die Durchrechnung der Poisson Varianten wurde auf die folgenden Daten zurückgegriffen:
Zuerst müssen die Durchschnittswerte der Bundesliga für Heimtore und Auswärtstore berechnet werden, um die Stärken von Dortmund und Schalke in ein Verhältnis setzen zu können. Tabelle 1 zeigt, dass Heimmannschaften im Schnitt 1,649 Tore schießen. Dortmund erzielt hingegen in Heimspielen deutlich mehr Tore (2,405) als der Bundesliga Durchschnitt. Außerdem fällt auf, dass die Heimdefensive der Dortmunder deutlich stärker ist, als der Bundesliga Durchschnitt.
Auswärtsmannschaften schießen durchschnittlich 1,239 Tore. Schalke erzielt etwas mehr Auswärtstore pro Spiel (1,270) als der Bundesliga Durchschnitt. Wenn Schalke auswärts antrat, dann konnten die "Königsblauen" pro Spiel 1,27 Tore erzielen, und mussten 1,62 Gegentore hinnehmen (siehe Tabelle 2).
| Heimstatistik | Tore | Gegentore |
|---|---|---|
| Bundesliga Durchschnitt | 1,649 | 1,239 |
| Borussia Dortmund Durchschnitt | 2,405 | 0,568 |
| Auswärtsstatistik | Tore | Gegentore |
|---|---|---|
| Bundesliga Durchschnitt | 1,239 | 1,649 |
| Schalke 04 Durchschnitt | 1,270 | 1,622 |
Mit diesen Basisdaten kann die Angriffsstärke und die Defensivstärke einer Mannschaft berechnet werden. Dazu müssen die Mannschafts-Statistiken in ein Verhältnis mit den Ligastatistiken gesetzt werden. Hier die Formel dazu:
Angriffsstärke = Tore Heimmannschaft : Heimtore Liga
Abwehrstärke = Tore Auswärtsmannschaft : Auswärtstore Liga
Eine Angriffsstärke größer 1 bedeutet, dass die Offensive einer Mannschaft stärker ist als der Ligadurchschnitt. Eine Defensivstärke kleiner 1 bedeutet, dass die Abwehr einer Mannschaft besser ist als der Ligadurchschnitt. Durch Einsetzen in die obige Formel erhalten wir folgende Werte für beide Mannschaften:
| Angriffsstärke / Defensivstärke | Abkürzung | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| Angriffsstärke Dortmund (Heim) | ATT BVB | 2,405 : 1,649 | 1,459 |
| Defensivstärke Dortmund (Heim) | DEF BVB | 0,568 : 1,239 | 0,458 |
| Angriffsstärke Schalke (Auswärts) | ATT Schalke | 1,270 : 1,239 | 1,026 |
| Defensivstärke Schalke (Auswärts) | DEF Schalke | 1,622 : 1,649 | 0,983 |
Berechnung der erwarteten Tore
Mit den Angriffsstärken / Defensivstärken können wir nun errechnen wie hoch der Erwartungswert für Heimtore von Dortmund bzw. Auswärtstore von Schalke im Spiel Borussia Dortmund - Schalke 04 ist. Um dies zu tun, kann man folgende Formel verwenden:
Dortmund Tore = ATT BVB * DEF Schalke * durchschn. Heimtore Liga
Schalke Tore = ATT Schalke * DEF BVB durchschn. Auswärtstore Liga
Setzt man die Werte aus Tabelle 3 in diese Formeln ein, dann erhält:
| Erwartete Tore auf Basis der Angriffsstärken / Defensivstärken | |||
|---|---|---|---|
| Borussia Dortmund | 1,459 * 0,983 * 1,649 | 2,366 | |
| Schalke 04 | 1,026 * 0,458 * 1,239 | 0,582 | |
Basierend auf der Angriffsstärke von Dortmund in Heimspielen, und der Defensivstärke von Schalke in Auswärtsspielen, wäre also 2,366 : 0,582 das wahrscheinlichste Resultat für dieses Spiel. Natürlich kann kein Spiel mit diesem Ergebnis enden; man kann diese errechneten Werte aber dazu verwenden, um mittels Poisson Verteilung die Wettquoten für jedes beliebige Ergebnis, für jedes Handicap oder für eine ganz gewöhnliche 3-Weg-Wette (Heimsieg, Unentschieden, Auswärtssieg) zu berechnen. Auch eine Quotenberechnung für Over/Under Wetten wäre möglich.
Poisson Verteilung auf Basis der erwarteten Tore aus Tabelle 4
Wir berechnen nun die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass Dortmunund kein Tor, ein Tor, zwei Tore usw. schießt bzw. das Schalke 0, 1, 2, 3 ... Tore erzielt. Dazu setzen wir die Werte 2,366 für Dortmund und 0,582 für Schalke in die Poisson Funktion in Excel ein (wie man in Excel mit Poisson Verteilungen für Sportwetten / Fussballwetten arbeitet, ist im Beitrag: Poisson Verteilung für Saisonwetten erklärt).
Tabelle 5 zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit für z.B. genau 1 Tor von Dortmund bei 22,21% liegt; bei einer Wette würde dies einer fairen Wettquote von 4,50 entsprechen (1 : 0,2221). Ebenso wird deutlich, wie unwahrscheinlich ist es ist, dass Schalke in Dortmund z.B. 3 Tore schießen kann (1,84%); dies würde einer Wettquote von 54,35 entsprechen.
| Tore Dortmund | % | Wettquote | Tore Schalke | % | Wettquote | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 9,39% | 10,65 | 0 | 55,88% | 1,79 | |
| 1 | 22,21% | 4,50 | 1 | 32,52% | 3,07 | |
| 2 | 26,27% | 3,81 | 2 | 9,46% | 10,57 | |
| 3 | 20,72% | 4,83 | 3 | 1,84% | 54,47 | |
| 4 | 12,25% | 8,16 | 4 | 0,27% | 374,35 | |
| 5 | 5,80% | 17,24 | 5 | 0,03% | 3216,07 | |
| 5+ | 3,37% | 29,71 | 5+ | 0,00% | ||
| 100% | 100% |
In der nächsten Tabelle werden die Endresultat-Wahrscheinlichkeiten dargestellt. Um z.B. die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis 1:1 zu berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeit für genau ein Tor von Dortmund, mit der Wahrscheinlichkeit von Schalke für genau ein Tor multiplizieren (22,21% * 32,52%).
Waagrecht kann man die Tor-Wahrscheinlichkeiten von Dortmund ablesen; senkrecht jene von Schalke. Will man nun die Wahrscheinlichkeit für einen 3:2 Heimsieg Dortmunds ablesen (Wahrscheinlichkeit: 1,96%), dann geht man waagrecht zur Spalte "3" und senkrecht zur Reihe "2".
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5+ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 5,24% | 12,41% | 14,68% | 11,58% | 6,85% | 3,24% | 1,88% |
| 1 | 3,05% | 7,22% | 8,54% | 6,74% | 3,99% | 1,89% | 1,09% |
| 2 | 0,89% | 2,10% | 2,49% | 1,96% | 1,16% | 0,55% | 0,32% |
| 3 | 0,17% | 0,41% | 0,48% | 0,38% | 0,22% | 0,11% | 0,06% |
| 4 | 0,03% | 0,06% | 0,07% | 0,06% | 0,03% | 0,02% | 0,01% |
| 5 | 0,00% | 0,01% | 0,01% | 0,01% | 0,00% | 0,00% | 0,00% |
| 5+ | 0,00% | 0,00% | 0,00% | 0,00% | 0,00% | 0,00% | 0,00% |
Anmerkung zu Tabelle 6: Einige Wahrscheinlichkeiten sind in der Tabelle als 0,00% dargestellt (z.B. 0:5 Heimniederlage). Natürlich sind diese Ergebnisse nicht ausgeschlossen, aber in der Berechnung wurde auf zwei Kommastellen gerundet. Die Wahrscheinlichkeit für eine 0:5 Heimniederlage würde bei 0,0029% liegen, und wird daher als 0,00% angezeigt.
Nun aber zur eigentlichen Frage: Wie hoch sind die berechneten Quoten für das Spiel, wenn man von Angriffsstärke vs. Defensivstärke ausgeht?
Die gesamte Berechnung basiert schließlich auf den ursprünglichen Werten von 2,366 Tore für Dortmund, bzw. 0,582 Tore für Schalke 04. Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit der Formel "1 : Wahrscheinlichkeit" (siehe dazu den Beitrag Wettquoten berechnen auf Wettstern) in Wettquoten umrechnen.
Auf Basis der Wahrscheinlichkeiten in Tabelle 6, erhält man Quoten von 1,29 für den Heimsieg, 6,51 für das Unentschieden und 13,62 für den Auswärtssieg.
| Borussia Dortmund | Unentschieden | Schalke 04 |
|---|---|---|
| 1,29 | 6,51 | 13,62 |
Der Vollständigkeit halber findet man in der untenstehenden Tabelle 8 die errechneten Resultat-Wettquoten (auf Basis der Wahrscheinlichkeiten aus Tabelle 6).
Anmerkung: Der gesamte Rechenweg in diesem Beispiel erscheint auf den ersten Blick lange und mühsam. Dieser Artikel soll so gut wie möglich das Prinzip von Poisson Berechnungen für Fussballwetten erklären, weswegen jeder einzelne Schritt dargestellt wird. Wenn man etwas Zeit in die Erstellung einer guten Vorlage investiert, dann können dank Excel die meisten Berechnungen vollkommen automatisiert erfolgen. Der Arbeitsaufwand für die Berechnung von Fussballquoten ist also bei weitem nicht so intensiv, wie es hier scheint.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5+ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 19,08 | 8,06 | 6,81 | 8,64 | 14,60 | 30,86 | 53,19 |
| 1 | 32,79 | 13,85 | 11,71 | 14,84 | 25,06 | 52,91 | 91,74 |
| 2 | 112,36 | 47,62 | 40,16 | 51,02 | 86,21 | 181,82 | 312,50 |
| 3 | 588,24 | 243,90 | 208,33 | 263,16 | 454,55 | 909,09 | 1666,7 |
| 4 | 3333,3 | 1666,7 | 1428,6 | 1666,7 | 3333,3 | 5000,0 | 10000 |
| 5 | - | - | - | - | - | - | - |
| 5+ | - | - | - | - | - | - | - |
Aus den Tabellen 1 & 2 ist ersichtlich, dass Dortmund im Schnitt 2,405 Heimtore erzielt und Schalke 1,270 Auswärtstore. Für die zweite Variante des torbasierten Modells nehmen wir ganz einfach diese Werte und setzten sie in die Poisson Verteilung ein. Wir ersparen uns die langatmige Auflistung der einzelnen Rechenschritte und kommen direkt zu den errechneten Wettquoten (siehe Tabelle 9).
| Borussia Dortmund | Unentschieden | Schalke 04 |
|---|---|---|
| 1,60 | 5,37 | 5,30 |
Diese Variante ist eine "abgespeckte" Version der Variante 1. In der Variante 1 wurden die Angriffsstärken und Defensivstärken unter Berücksichtigung der Werte des Gegners und der Liga berechnet. Bei Variante 3 berechnen wir die erwarteten Tore nur unter Berücksichtigung des Gegners. Und so funktioniert es:
Aus den Tabellen 1 & 2 ist bekannt, dass Dortmund in Heimspielen durchschnittlich 2,405 Tore erzielt. Schalke lässt in Auswärtsspielen durchschnittlich aber nur 1,622 Gegentore zu. Multipliziert man diese beiden Werte und teilt sie anschließend durch zwei, dann erhält man einen Erwartungswert von 2,014 Toren für Dortmund.
Schalke erzielt in Auswärtsspielen durchschnittlich 1,27 Tore. Die starke Defensive der Dortmunder lässt zuhause aber nur 0,568 Gegentore zu. Wieder multipliziert man die Werte, teilt sie danach und man erhält einen Erwartungswert von 0,919 Auswärtstoren für Schalke. Auf Basis von diesen beiden Werten erhält man folgende Wettquoten für das Spiel:
| Borussia Dortmund | Unentschieden | Schalke 04 |
|---|---|---|
| 1,59 | 4,81 | 6,10 |
Auch die vierte Variante ist eine abgespeckte Version der ersten Variante. Dieses Mal werden die durchschnittlich erzielten Tore einer Mannschaft nur mit dem Liga-Durchschnitt verglichen (die Defensive der gegnerischen Mannschaft wird ignoriert).
Anmerkung: Die theoretische Basis dafür findet man im Konzept der so genannten "Mittelwertrückkehr" aus der Finanzmathematik. Auf Fussballwetten bezogen bedeutet dies, dass z.B. Tore pro Heimspiel über einen längeren Zeitraum in Richtung des Durchschnittswerts wandern (also in Richtung des Liga-Durchschnitts).
Bezüglich Finanzmathematik (Börsen etc.) können wir keine Einschätzung zur Aussagekraft der Mittelwertrückkehr-Theorie abgeben. Was Sportwetten anbelangt, so sei gesagt, dass "Mittelwertrückkehr" ein umstrittenes Konzept ist. Betrachtet man etwa Langzeitstatistiken der Bundesliga, so zeigt sich, dass Heimmannschaften seit Einführung der Bundesliga durchschnittlich 1,88 Tore/Heimspiel erzielten. Bayern München erzielte im gleichen Zeitraum durchschnittlich 2,65 Tore/Heimspiel. Man kann davon ausgehen, dass die Bayern auch in absehbarer Zukunft überdurchschnittlich viele Heimtore pro Spiel erzielen werden. Eine Annäherung an den Mittelwert ist nicht abzusehen (wobei es natürlich auch stark darauf ankommt welchen Betrachtungszeitraum man wählt).
Von einigen Buchmachern wird das Konzept der Mittelwertrückkehr nachweislich in die Berechnung der Wettquoten miteinbezogen. Dies bedeutet nicht, dass die gesamte Wettquoten Berechnung darauf basiert! Wohl eher nur ein Teil davon.
Zurück zu unserem Beispiel. Dortmund erzielt im Durchschnitt 2,405 Heimtore/Spiel. Der Durchschnitt der Bundesliga in unserem gewählten Betrachtungszeitraum beträgt 1,649 Heimtore/Spiel. Man rechnet also (2,405 + 1,649) / 2 und erhält einen Erwartungswert von 2,027 Heimtoren/Spiel.
Bei Schalke 04 zeigt sich, dass die erzielten Auswärtstore / Spiel sehr nahe am Liga-Durchschnitt sind. Man rechnet (1,270 * 1,239) / 2 und erhält 1,255 erwartete Auswärtstore für dieses Spiel. Auf Basis dieser Werte erhält man in der vierten Variante folgende 3-Weg-Quoten für das Spiel:
| Borussia Dortmund | Unentschieden | Schalke 04 |
|---|---|---|
| 1,81 | 4,67 | 4,28 |
Weiterführende Artikel
Sportwetten Mathematik: Grundlagen
Ergebnisbasiertes Sportwetten Modell
Poisson Verteilung: Teil 2 – Fussballwetten
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